ε-δ論法①
こんにちは！tommyです。
まだなにかと書く話題に困っていて
数学が多めになります。。。
今日は
純粋数学を志す者なら絶対に
避けて通れないもの
を少しだけ書いていきます。
もう一つは私のアウトプットの意味もあります。
１．ε‐δ論法は、曖昧さを許さない
まず
ε-δ論法はなんのためにあるのでしょうか。
結論から言いますと
極小の世界を緻密に扱う為にある
というのが一つの答えです。
高校数学の極限などで
右側極限とかやったとおもいます。
これは
ある関数上のある点において右側から近づけていく
というような曖昧な説明でした。
高校2年生でも微積分のところで
”近づける”というワードが出てきます。
この近づくという表現
どれぐらい近く？という疑問にとらわれませんか？
そうこの疑問を解消する一つの手段
として先程の論法があります。
厳密さを大切にする数学では高校の近づける
というワードだけで片付けるのは大問題なんです。
数直線に注目すると0から1の間でも
凄まじいほどの数字が含まれますから
近づけるとひと言で終わらせてしまうと
曖昧さをなくすことができません。
そうしたことを曖昧さを許さず
緻密に論じるためにε-δ論法があるのです。
最初はやはり、数列などの収束定義をε‐δ論法を
使うことが多いのではないでしょうか。
また今度詳しくやりますが
まず、ここでは手始めとして基本の用語をやります。
数学では必須の
”任意の～”と”ある～が存在して”という言葉。
まず、任意という言葉ですが、
日常使いでは意志次第でというニュアンスですね。
数学では、少し違って
どんな人がどんな数字の選び方をしても成り立つ！という感じです。
そして、
ある～が存在して。これは難しいのですが、
簡単には、特定の条件を都合よく満たす数字がありますよ！というやつ。
要するに、自分に都合よい数字です。
これは、どこにでもでてくるので覚えましょう。
また、ある～が存在してという文言が来た場合は
この存在するものの条件をしっかりと
明確にする癖をつけたほうがいいです。
記号もやりましょう。
絵文字なんかでよく使われる
∀
これは、all の Aをひっくり返したもので任意という意味です。
存在についてもあります。
∃
この記号が～が存在している。という意味。
よく、これをつけて存在していると日本語で書く人や
∃ⅹしている。のように、
一つの記号で”ある～が存在している”という意味なのに
ついつい続けてしまう人がいるので注意です。
２．実際に
では、ε‐δ論法というものを実際に見ていきましょう。
よく扱われるものが
収束です。
ごくごく小さい世界を見ていく
解析学はε‐δ論法の本領が発揮されます。
下記はε-N論法です。
δがNに替わっただけであまり変わりません。
(※だんだん勉強していくと少し違う…)
定義 数列に関する収束
数列 が
に収束するとは
任意の ＞ 0 に対してある自然数
が存在して、
すべての自然数 に対して
≧
ならば ｜
-
｜ < ε
が成り立つことをいう。
言い忘れていましたが
εは実はすんごく小さい数字です。
このことに気を付けて読んでいくと、、、
ある自然数Nとは、
任意の自然数つまりどこか見知らぬ人が無作為に選んでも
それより大きくなるような数をとってきたもののことです。
このN番目周辺の時の数列は
に
近づいていますよというのが絶対値の部分。
絶対値はもともと二点間の距離とかですので
上の定義は結構直感的なものだと思います。
こういう風に近づけるというのは高校までで
大学ではこうした論法を駆使してエレガントに表現します。
説明下手ですみません。
ですが、少しだけでも何やら便利なものが…
と思ってくれていれば幸いです。
今回はここまで！
余談ですが、数列打ち込むのなかなか大変でした。
さすが初心者！
これからも数学やらいろいろ頑張って書いていきます。。。
一瞬数学苦手なのでは？という考えがよぎりました。
では、また次回！！
